樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm, SSA)是2017年由MIRJALILI S等人^[1]提出的一种新的智能算法。作为一种元启发式算法, SSA具有收敛速度快、设定参数少、简单易懂等优点, 但也存在易陷入局部极值点、收敛精度不高等问题。目前, 已有学者对该算法进行了改进并应用于相关研究。文献[2]引入了评估移动策略来增强算法的开发能力, 并成功用于永磁同步电机的多参数辨识; 文献[3]通过引入levy飞行机制来提高算法的全局搜索能力, 并用于多阈值图像分割时的优化; 文献[4]结合了混沌精英质心拉伸机制, 有效地提高了SSA的收敛速度和收敛精度; 文献[5]用Tent映射来初始化种群个体, 并在食物源的位置中加入“疯狂”算子, 提高了算法的开发能力。本文在SSA中引入天体运动算子来提高算法的开发能力, 并通过7个常用的算法测试函数验证改进算法的有效性。

SSA的思想来源于樽海鞘聚集成一条链式的行为, 即前后个体之间相互影响。将樽海鞘群中的个体划分为领导者和追随者, 其中领导者在链的前端, 对周围的环境有更好的判断。SSA的具体运算步骤如下^[6]。

设种群总数为N, 其中领导者个数为N_l, 追随者个数为N_f, 解空间维数为D维, 搜索空间的上限和下限分别为:u_b=[u_b1 u_b2 u_b3…u_bD]和l_b=[l_b1 l_b2 l_b3…l_bD], 那么樽海鞘个体的位置可以表示为x_i=[x₁ x₂ x₃ …x_D]。

对第i个领导者在第j维上的位置进行更新, 表达式为

$ x_{j}=\left\{\begin{array}{ll} F_{j}+c_{1}\left[\left(u_{\mathrm{b} j}-1_{\mathrm{b} j}\right) c_{2}+1_{\mathrm{b} j}\right] & c_{3} \geqslant 0.5 \\ F_{j}-c_{1}\left[\left(u_{\mathrm{b} i}-1_{\mathrm{b} j}\right) c_{2}+1_{\mathrm{b} i}\right] & c_{3} \lt 0.5 \end{array}\right. $

(1)

$ c_{1}=2 e^{-\left(\frac{4 t}{t_{\max }}\right)^{2}} $

(2)

式中:F_j——目标食物的位置;

c₂, c₃——随机产生的数, 范围均为[0, 1];

t, t_max——当前迭代次数和最大迭代次数。

参数c₁的值对于算法的开发和探索能力的平衡起着至关重要的作用。由式(2)可以看出c₁的值由2递减到0。

对第i个追随者在第j维上的位置进行更新, 表达式为

$ x_{j}=\frac{1}{2} a t_{0}^{2}+v_{0} t_{0} $

(3)

式中:a——加速度;

t₀——时间;

v₀——初始速度。

在SSA中, 时间t₀就是当前迭代数与上一迭代数之差, 即t₀=1;而初始速度v₀往往设为那么x_j的最终更新公式为

$ x_{j}=\frac{1}{2}\left(x_{j}^{i}+x_{j}^{i-1}\right) $

(4)

天体运动更新的思想来自于天体物理学中行星绕太阳运动的轨迹^[7]。本文将这一思想与SSA结合, 得到天体运动更新的樽海鞘群算法(Astrophysics-inspired Salp Swarm Algorithm, ASSA)。其具体改进方法如下。

从N个种群中随机选择k个樽海鞘个体, 让这k个个体围绕当前种群中最优的个体来更新位置, 其更新表达式为

$Y_{i, \text { new }}=Y_{\text {best }}+R_{i, \text { best }} U(-2,2)$

(5)

式中:Y_{i, new}——被选择的个体更新后的位置;

Y_best——当前最优个体;

R_{i, best}——个体i与最优个体间的距离;

U(-2, 2)——区间[-2, 2]内的随机数, 与参数c₁的变化相对应。

同时, 最优个体也更新其自身位置, 更新公式为

$Y_{\text {best }, \text { new }}=Y_{\text {best }} U(-2,2)$

(6)

将更新后的位置与原位置相比, 选择适应度较好的作为最终更新位置, 即

$ Y_{i}^{\prime}=\left\{\begin{array}{ll} Y_{i, \text { new }} & f\left(Y_{i, \text { new }}\right) \lt f\left(Y_{i}\right) \\ Y_{i, \text { else }} & \text { 其 他} \end{array}\right. $

(7)

改进后的樽海鞘群算法流程如图 1所示。

文献[4-5]中为了验证所提出的改进算法的有效性, 将其与其他智能算法对基准函数进行了多次独立重复实验, 并最终比较了各个算法的最佳值(Best)、平均值(Mean)、标准差(Standard Deviation, Std), 以及算法的成功率(Success Rate, SR)。为了验证本文所提出的ASSA的有效性, 对7个常用的测试函数进行最小值寻优仿真, 并将结果与SSA、蚁狮算法(Ant Lion Optimization, ALO)^[8-9]、灰狼优化算法(Gray Wolf Optimization, GWO)^[10-11]、粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)进行比较, 测试函数的详细信息如表 1所示。其中, U表示单峰, M表示多峰, S表示可分, N表示不可分。

为了避免单次测试带来的偶然性影响, 对每个函数进行30次独立实验, 比较每种算法结果的最佳值、平均值、标准差和算法的成功率。判断每次试验是否成功的公式为

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\left|F_{\mathrm{A}}-F_{\mathrm{T}}\right|}{F_{\mathrm{T}}}<1.0 \times 10^{-3} \quad F_{\mathrm{T}} \neq 0 \\ \left|F_{\mathrm{A}}-F_{\mathrm{T}}\right|<1.0 \times 10^{-3} \quad F_{\mathrm{T}}=0\end{array}\right.$

(8)

式中:F_A——每次实际求解最佳值;

F_T——测试函数理论最佳值。

算法参数设置如下:上述4种算法的种群数N=30;最大迭代次数t_max=200; PSO算法的惯性权重和学习因子分别为w=1, c_{1, PSO}=c_{2, PSO}=1.5^[4]; SSA和ASSA中领导者个数N_l和追随者个数N_f设成N_l=N_f^[2-12-13], 且N_l=N_f=N/2=15; ASSA中k=15%×N≈5。

表 2为5种算法的实验结果。其中, 最优值和平均值这两个指标能够很好地反映算法的收敛精度, 而收敛精度的高低在很大程度上决定了算法的优劣。由表 2可以看出, 对于单峰函数f₁~f₄, ASSA的收敛精度非常高, 达到了1.0×10^-50以上, 而SSA对这4种函数的寻优最优值均较大, 其中对函数f₃的寻优值甚至超过890, 具有较大的误差。由此可见, ASSA能够改善SSA存在的收敛精度不高的问题。对于多峰函数f₆, ASSA的收敛精度达到了1.0×10^-16, 远高于其他4种算法(GWO的收敛精度为1.0×10^-5, PSO为2.7, SSA为5, ALO为8), 满足了算法的精度要求。对于多峰函数f₅和f₇, ASSA收敛到了理论上的最优值零, 这是其他算法所不能比拟的。

标准差和成功率能够反映算法的稳定性。ASSA的标准差远小于其他4种算法, 采用ASSA优化的7个基准函数的标准差基本保持在1.0×10^-30, SSA的标准差在1~200, GWO的标准差最好的也只有1.0×10^-8。由此可以看出, ASSA对于不同函数的运算结果的稳定性比其他算法要好。对7个基准测试函数, 在规定的200次迭代次数内, ASSA优化结果的成功率都是100%, 而其他算法如GWO在对函数f₃~f₅时均难以达到100%, PSO和SSA的成功率甚至为零。

以上是基于30次独立运行的平均值、标准差的对比实验, 无法反映每一次运行时各个算法之间的差异。文献[14]提出, 应该对改进的算法进行统计性检验, 以验证其是否具有明显优势。

因此, 本文在5%显著性水平下进行了Wilcoxon秩和检验。在7个基准测试函数下, 5种算法在Wilcoxon秩和检验中求得的p-value值如表 3所示。将每个函数的最佳算法的值标记为N/A, 以符号“+, =, -”分别表示ASSA的性能优于、等于和劣于相比较的算法。

文献[14]指出, p-value值小于0.05就可以被认为是拒绝秩和假设。由表 3可以看出, 与其他算法相比, ASSA的p-value值均小于0.05, 可以认为在统计上ASSA比其他算法更具优越性, 即ASSA具有更高的收敛精度。

文献[15]提出了一个有效并且可行的判别算法性能的指标, 即为平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)。其计算公式为

$ \operatorname{MAE}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{N_{\mathrm{b}}}\left|m_{i}-o_{i}\right|}{N_{\mathrm{b}}} $

(9)

式中:m_i——算法多次独立测试后得到的最优结果的平均值;

N_b——测试函数的个数;

o_i——测试函数的理论最优值。

本文同样用MAE来鉴别5种算法的优劣性, 其结果如表 4所示。

由表 4可以看出, ASSA的MAE值最小, 几乎为零, 远远小于SSA算法的MAE值524, 再一次验证了ASSA算法的优越性。

图 2是5种算法对不同基准测试函数的平均收敛曲线。其中, ASSA在函数f₅和函数f₇的寻优过程中达到了最优值为零, 故ASSA曲线的后面部分没有显示。

由图 2可以看出, 对于7个基准函数, ASSA的收敛速度很快, 并且在200次的迭代中并没有出现陷入局部极值点的现象。其他4种算法的收敛速度远远不及ASSA, 并且在迭代后期曲线平缓, 下降速度慢, 容易陷入局部极值点。对于函数f₁, 函数f₃和函数f₄, ASSA均以非常快的速度收敛, 而SSA, GWO, ALO的收敛速度十分缓慢, PSO则容易陷入局部极值点; 对于函数f₂, PSO, SSA, ALO分别在迭代到18次、20次和100次左右便陷入局部极值; 对于函数f₅和f₇, ASSA经不到100次迭代就达到了理论最优值, 而其他3种算法依旧收敛速度缓慢, 且最终精度也不高。

不论是针对单峰还是多峰函数, ASSA的收敛速度都很快, 且收敛精度高。

本文在SSA的基础上, 随机选取部分个体围绕全局最优个体进行位置更新, 以探索最优个体附近的区域。通过7个基准测试函数对ASSA的性能进行检验, 结果表明, ASSA的最优值、平均值、标准差等各项指标都十分优异, 与SSA算法相比, 其性能有了极大的提高。