配电网电缆线路具有受恶劣天气影响小、节中城市的配电网电缆化率更是达到90% 以上^[1]。约土地资源等优点，正逐步替代架空线路，一些大由于配电网电缆线路一般都敷设于地下，故障定位较难，因此快速、可靠、准确定位配电网电缆线路故障点，对于提高运维效率、保证供电可靠性具有重要意义^[2]。

常见的配电网电缆线路故障定位方法包括故障分析法和行波定位法。行波定位法以其受系统运行方式、故障过渡电阻影响小等优势，被广泛应用于配电网电缆线路故障定位的理论研究和实际应用中^[3-4]。行波定位法根据采用行波信息的不同可以分为单端法^[5]、双端法^[6]和分布式定位法^[7]。分布式定位法具有可实现波速在线计算的优点，更适用于配电网电缆线路故障行波定位。精确检测行波首波时刻是分布式定位法的关键^[8]。目前应用较多的分布式定位法主要有小波变换法^[9-10]、希尔伯特黄变换法^[11]、变分模态分解（Variational Mode Decomposition，VMD）法^[12-13]。小波变换法将信号按频率多层分解，利用小波变换模极大值法检测故障行波首波时刻，但不同的小波基函数和分解尺度会影响其检测效果，且很难选取合适的基函数和分解尺度。希尔伯特黄变换法通过经验模态分解算法分解故障行波信号，但在处理含噪声信号时会出现模态混叠情况，导致含噪故障行波首波时刻检测失败，造成故障定位误差较大。相比之下，VMD法将信号分解成不同频率的模态分量，能很好地反映信号的奇异性特征。上述方法均是采用信号分解算法检测行波首波时刻，但通过人为选取参数或基函数，很难找到最优组合，特别是在噪声较多的环境下，可能导致行波首波时刻检测失败。

针对当前配电网电缆线路行波定位方法较难精确检测含噪行波问题，本文提出一种基于参数优化VMD和改进型Teager能量算子（Novel Teager Energy Operator，NTEO）的故障行波定位方法。首先，采用灰狼优化（Grey Wolf Optimizer，GWO）算法优化VMD参数，提取含有故障特征的高频模态分量。然后，通过NTEO精确计算故障行波首波时刻。最后，采用分布式多测点行波定位方法实现故障区段及故障点位置的精确定位。

由于电缆线路三相参数存在耦合，故障状态下电磁暂态过程相互影响，因此需做解耦运算。本文采用Karenbauer相模变换解耦得到线模和地模分量信号，对传播过程衰减小、波速近似恒定的故障电压行波线模分量进行分析。

VMD法是一种针对非平稳信号的分解技术^[14]，能够将时间t的含噪故障行波信号（ft）分解为K个不同中心频率的本征模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF）。VMD法的变分约束模型可表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \min\limits_{\left\{u_k\right\}\left(\omega_k\right\}}\left\{\sum\limits_{k=1}^K\left\|\partial_t\left[\left(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}\right) u_k(t)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_k t}\right\|_2^2\right\} \\ \text { s.t. } \sum\limits_{k=1}^K u_k(t)=f(t) \end{array}\right. $

(1)

式中：{u_k}——K个IMF分量信号集合，$\left\{u_k\right\}=\left\{u_1, u_2, u_3, \cdots, u_K\right\}$；

{ω_k}——K个IMF分量信号中心频率集合，>{ω_k} = {ω₁，ω₂，ω₃，，ω_K}；

k——IMF分量信号编号，k =1，，，23…，K；

∂_t——对时间t求偏导；

δ(·)——脉冲函数^[15]；

u_k (·)——分解后的第k个IMF分量信号^[15]；

ω_k——分解后的第k个IMF分量信号中心频率。

为求取式（1）变分约束模型的最优解，引入的无约束最优化模型L({u_k(t)}，{ω_k}，λ)为

$ \begin{aligned} & L\left(\left\{u_k(t)\right\}, \left\{\omega_k\right\}, \lambda\right)= \\ & \quad \alpha \sum\limits_{k=1}^K\left\|\partial_t\left\{\left[\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}\right] u_k(t)\right\} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_k t}\right\|_2^2+ \\ & \quad\left\|f(t)-\sum\limits_{k=1}^K u_k(t)\right\|_2^2+\left\langle\lambda(t), f(t)-\sum\limits_{k=1}^K u_k(t)\right\rangle \end{aligned} $

(2)

式中：α——二次惩罚因子；

λ——拉格朗日乘法算子；

〈·〉——相内积。

利用交替方向乘子法求取L ({u_k (t)}，{ω_k}，λ)所示的拉格朗日函数的鞍点，从而将f(·)分解为K个IMF分量信号。

由式（2）可以看出，VMD法的分解效果受到模态分量个数K和二次惩罚因子α影响^[16]。在含噪故障行波信号中，若参数选取不当，模态分量的波形突变可能被噪声掩盖，难以确定故障行波首波时刻。为了解决上述问题，本文利用GWO算法^[17]选择适当的适应度函数优化VMD参数，获得最优参数配置。

GWO算法在求解精度和鲁棒性等方面优于粒子群算法和差分进化算法等经典元启发式算法^[18]。

GWO算法按个体适应度值将群体中前3个最优个体依次记为α狼、β狼和δ狼，剩余其他灰狼个体记为ω狼，灰狼优化算法的具体寻优过程可表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{D}_\alpha=\left|\boldsymbol{C} \boldsymbol{X}_\alpha-\boldsymbol{X}(o)\right| \\ \boldsymbol{D}_\beta=\left|\boldsymbol{C} \boldsymbol{X}_\beta-\boldsymbol{X}(o)\right| \\ \boldsymbol{D}_\delta=\left|\boldsymbol{C} \boldsymbol{X}_\delta-\boldsymbol{X}(o)\right| \\ \boldsymbol{X}_1=\boldsymbol{X}_\alpha-\boldsymbol{A} \boldsymbol{D}_\alpha \\ \boldsymbol{X}_2=\boldsymbol{X}_\beta-\boldsymbol{A} \boldsymbol{D}_\beta \\ \boldsymbol{X}_3=\boldsymbol{X}_\delta-\boldsymbol{A} \boldsymbol{D}_\delta \\ \boldsymbol{X}(o+1)=\frac{\left(\boldsymbol{X}_1+\boldsymbol{X}_2+\boldsymbol{X}_3\right)}{3} \end{array}\right. $

(3)

式中：$\boldsymbol{D}_\alpha, \boldsymbol{D}_\beta, \boldsymbol{D}_\delta$——灰狼个体与$\alpha$狼，$\beta$狼和$\delta$狼之间的距离向量；

$\boldsymbol{C}, \boldsymbol{A}$——协同系数向量；

$\boldsymbol{X}_\alpha, \boldsymbol{X}_\beta, \boldsymbol{X}_\delta$——$\alpha$狼、$\beta$狼和$\delta$狼的位置向量；

$\boldsymbol{X}(o)$——第$o$次迭代时灰狼个体位置向量；

$\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$——灰狼个体朝向$\alpha$狼、$\beta$狼和$\delta$狼的移步距离向量。

为了保证VMD法能够实现故障行波信号去噪，确保故障行波首波时刻标定的准确性，本文以包络熵^[19]和峰度值的比值最小为优化目标F。F可表示为

$ F=\min\limits_k \frac{E_k^{\mathrm{IMF}}}{\beta_k^{\mathrm{IMF}}} $

(4)

式中：E_k^IMF，β_k^IMF——第k个IMF分量信号的包络熵和峰度值。

包络熵是一种能够反映信号稀疏特性的指标，可评估故障行波信号复杂度。故障行波信号复杂度与信号噪声成分含量成正比。经过VMD法分解后，若得到IMF分量信号中包含的噪声较多，则信号的复杂度较高、包络熵较大，会掩盖故障冲击特征。因此，在分解故障行波信号时，应尽量降低IMF分量信号的包络熵，减小噪声干扰。E_k^IMF的计算公式为

$ E_k^{\mathrm{IMF}}=-\sum\limits_{j=1}^n p_{k, j}^{\mathrm{IMF}} \lg p_{k, j}^{\mathrm{IMF}} $

(5)

$ p_{k, j}^{\mathrm{IMF}}=\frac{e_{k, j}^{\mathrm{IMF}}}{\sum\limits_{j=1}^n e_{k, j}^{\mathrm{IMF}}} $

(6)

式中：n——信号采样数量；

p_k，j^IMF——第k个IMF分量信号第j次信号采样值s_k，j^IMF经希尔伯特解调后得到的

包络信号e_k，j^IMF的归一化形式。

峰度值是评估信号波形的重要指标，故障行波信号经过VMD法分解后，若得到IMF分量信号波峰更尖峭，即冲击脉冲更明显，则信号的峰度值较大。因此，在分解故障行波信号时，应尽量升高IMF分量信号的峰度值，使其波形突变更加明显，从而有利于对故障行波进行波头标定。β_k^IMF的计算公式为

$ \beta_k^{\mathrm{IMF}}=\frac{m_{k, 4}^{\mathrm{IMF}}}{\left(m_{k, 2}^{\mathrm{IF}}\right)^2} $

(7)

$ m_{k, q}^{\mathrm{IMF}}=\frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^n\left(s_{k, j}^{\mathrm{IMF}}-\mu_{k, j}^{\mathrm{IMF}}\right)^q $

(8)

$ \mu_{k, j}^{\mathrm{IMF}}=\frac{\sum\limits_{j=1}^n s_{k, j}^{\mathrm{IMF}}}{n} $

(9)

式中：$m_{k, q}^{\mathrm{IMF}}$——第k个IMF分量信号的q阶中心距（q=1，2，3…）；

$\mu_{k, j}^{\mathrm{IMF}}$——第k个IMF分量信号第j次信号采样值。

基于GWO算法优化VMD参数的寻优流程如图 1所示。

NTEO是一种基于信号瞬时能量的非线性算子，可用于检测含噪故障行波的首波时刻^[11]。对于第k个IMF分量信号，NTEO计算公式为

$ \psi\left[s_{k, j}^{\mathrm{IMF}}\right]=\left[s_{k, j}^{\mathrm{IMF}}\right]^2-s_{k, j-g}^{\mathrm{IMF}} s_{k, j+g}^{\mathrm{IMF}} $

(10)

式中：$\psi\left[s_{k, j}^{\mathrm{IMF}}\right]$——$s_{k, j}^{\mathrm{IMF}}$的能量算子；

g——分辨率系数。

本文以10 kV配电网电缆单环网为研究对象，根据实际需求，假设环网柜母线处均安装行波监测器。基于三测点行波定位^[8]提出分布式多测点行波定位方法。故障定位示意如图 2所示。其中，B、C、D、E、F表示环网柜，1、2、3、4、5、6、7为区段监测点。

以站端A为参考位置起始，设电缆线路共有m个区段，编号分别为1，2，3，…，m。共有m+1个监测器，编号分别为1，2，3，…，m+1。记录相邻监测点距离为区段i的长度l_i，记录行波首波到达各监测点时间为t_i，记录相邻监测点时差$\Delta t_i=\mid t_{i+1}- t_i\mid$。基于首波到达各监测点时间以及相邻监测点时差，定义首波时差向量$\Delta \boldsymbol{T}$为

$ \Delta \boldsymbol{T}=\left[\Delta t_1, \Delta t_2, \Delta t_3, \cdots, \Delta t_m\right] $

(11)

式中：$\Delta t_m$——区段m的相邻监测点时差。

基于相邻监测点距离，定义区段长度向量 L为

$ \boldsymbol{L}=\left[l_1, l_2, l_3, \cdots, l_m\right] $

(12)

式中：l_m——区段m长度。

利用首波时差向量$\Delta t$及区段长度向量 L计算得到故障区段判断向量$\Delta \varphi$为

$ \Delta \boldsymbol{\varphi}=\left[\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3, \cdots, \varphi_m\right] $

(13)

式中：φ_m——区段m的故障判断。

第i个区段的故障判断$\varphi_i=l_i /\left(v \Delta t_i\right)$，v为行波在电缆线路中实际波速，$\Delta t_i$为区段i的相邻监测点时差，若φ_i ≥ 1.1，令φ_i = 1，表示区段i内有故障发生；若φ_i < 1.1，令φ_i = 0，表示区段i内无故障发生。

以故障发生在区段i为例，故障行波定位表达式为

$ v=\frac{l_{i+1}}{\Delta t_{i+1}} $

(14)

$ x_i=0.5\left[l_i+v\left(t_i-t_{i+1}\right)\right] $

(15)

式中：l_i+1——区段i+1的长度；

$\Delta t_{i+1}$——区段i+1的相邻监测点时差；

x_i——区段i故障定位结果。

基于参数优化VMD和NTEO的配电网电缆线路故障行波定位流程如图 3所示。

基于Simulink软件建立10 kV配电网电缆单环网故障仿真模型，故障定位区间为站端A至环网柜D总长为6 km的电缆线路，各区段长度均为2 km，线路参数详见文献[20]。监测器1安装在站端A处，监测器2安装在环网柜B处，监测器3安装在环网柜C处，监测器4安装在环网柜D处。采样频率为10 MHz。模型仿真总时间为0.100 s，假设区段AB内距站端A处1.2 km发生单相接地故障，过渡电阻10 Ω，故障发生时刻0.035 s。

通过对4个监测点所监测到的三相电压行波采样信号进行希尔伯特黄相模变换，得到电压行波的r线模分量。其中，监测器1、2、3、4监测到的电压行波r线模分量如图 4所示。

采用上文所述基于GWO算法优化的VMD法分解电压行波线模分量，设置种群大小为20，最大迭代次数为30次。GWO算法收敛曲线如图 5所示。

由图 5（a）可以看出，第16次迭代中算法收敛到最优解，适应度最小值为0.018 374，VMD法最优参数为（5，69）。由图 5（b）、5（c）、5（d）可以看出，环网柜B处电压行波r线模分量的GWO优化过程在第14次迭代中收敛到最优解，适应度最小值为0.026 397，最优参数为（6，13）；环网柜C处电压行波r线模分量的GWO优化过程在第17次迭代中收敛到最优解，适应度最小值为0.062 191，最优参数为（8，11）；环网柜D处电压行波r线模分量的GWO过程在第2次迭代中收敛到最优解，适应度最小值为0.070 372，最优参数为（5，10）。总之，GWO算法收敛速度快，且有一定跳出局部最优的能力。

采用NTEO对适应度值最小的5种IMF分量信号（IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、IMF5）计算Teager能量值，确定故障行波首波时刻。5种IMF分量信号VMD法分解结果如图 6所示。

图 6中IMF1分量信号采用NTEO得到的Teager能量谱如图 7所示。

由图 7可知，监测器1的行波首波时刻t₁= 0.035 009 7 s。同理得到监测器2的行波首波时刻t₂= 0.035 006 7 s，监测器3的行波首波时刻t₃=0.035 022 4 s，监测器4的行波首波时刻t₄= 0.035 038 3 s。

采用分布式多测点行波定位方法，通过故障区段判断向量$\Delta \boldsymbol{\varphi}$确定故障区段。其中，首波时差向量$\Delta \boldsymbol{T}$ = [0.000 003 0，0.000 015 7，0.000 015 9]，区段长度向量 L = [2,2,2]，故障区段判断向量$\Delta \boldsymbol{\varphi}$ = [1,0,0]。通过$\Delta \boldsymbol{\varphi}$可判断故障发生在区段1内。由式（14）计算得到区段内的波速为1.273 89× 10⁵ km/s。由式（15）计算得到故障点到A端的距离为1.191 km，误差为0.009 km。

为验证本文所提方法的优越性，将文献[9]中所采用的小波分析法与文献[16]中的VMD法进行对比。其中：VMD法的经验选取参数取值为（4，2 000），小波基函数为db 6；采用NTEO计算分量信号Teager能量值，确定故障行波首波时刻；两种方法均结合传统的双端定位方法进行故障定位。采用小波分析法对文献[9, 16]中的前4个分量信号（d1、d2、d3、d4）进行分解，结果如图 8所示。VMD法4个分量信号分解结果如图 9所示。

由图 8和图 9可知，d1分量信号中有明显的突变信号，IMF1分量信号中有明显的突变信号。

选取图 8中的d1分量信号和图 9中的IMF1分量信号作为待测信号进行Teager能量值计算，确定故障行波首波时刻。d1分量信号和IMF1分量信号的Teager能量谱对比如图 10所示。

由图 10可知，采用小波分析法计算得到站端A处故障行波首波时刻为0.035 009 8 s，采用参数未优化的VMD算法计算得到站端A处故障行波首波时刻为0.035 009 9 s。

3种方法故障行波定位结果及定位误差如表 1所示。

由表 1可以看出，在信号不含噪声时，本文提出的参数优化VMD法具有较高的定位精度。

监测器3监测到的电压行波不含噪和含噪信号如图 11所示。

为验证本文所提方法的抗噪性能，以距离站端A处1.2 km处发生过渡电阻10 Ω单相接地故障为例，针对监测器3监测到的电压行波信噪比20 dB进行分析，仿真中通过叠加白噪声模拟含噪行波信号。经过GWO算法优化后，VMD法参数为（6，3 602）。小波分析法4个分量信号分解结果如图 12所示，VMD法4个分量信号分解结果如图 13所示，参数优化VMD法6个分量信号分解结果如图 14所示。

通过图 12、13、14可以看出，图 12和图 13中各分量信号均严重受到了噪声污染，难以确定故障行波的首波时刻，图 14中IMF5分量信号可确定故障行波的首波时刻，一定程度上减少了噪声信号的影响，具有良好的抗噪性能。

为进一步说明本文所提方法的抗噪性能，选取不同的信噪比，与另外两种方法进行对比。3种方法的抗噪性能对比如表 2所示。

由表 2可知，本文所提方法具有最高的定位精度，定位误差仅为0.001 km，同时最大定位误差为0.009 km，波动范围最小，且在信噪比较低时保证了较高的定位精度，体现出良好的抗噪性能。

考虑到过渡电阻对于行波幅值的影响可能会影响故障定位结果，本文构建了4种不同过渡电阻值下的接地故障模型，并采用本文所提方法对行波信号进行分析。不同过渡电阻下行波定位结果及定位误差如表 3所示。

由表 3中可以看出，本文所提方法在不同过渡电阻下，均能保证较高的定位精度。

为了分析故障距离对行波定位结果的影响，本文构建了4种不同故障距离下的接地故障模型，并采用本文所提方法对行波信号进行分析。不同故障距离下的行波定位结果及定位误差如表 4所示。

由表 4可以看出，本文所提方法在不同故障距离下都可以保证较高的定位精度。

基于参数优化VMD和NTEO行波检测方法，可精准标定含噪声故障行波信号的初始波头到达时刻。本文以包络熵及峰度值作为优化目标，采用NTEO对优选波形突变明显的IMF分量信号进行分析，在精确计算故障行波首波时刻的基础上，采用分布式多测点行波定位方法实现了配电网电缆线路故障区段的精准定位。仿真结果表明，本文所提方法具有良好的抗噪性能及较高的定位精度，定位误差基本不受过渡电阻和故障距离的影响，具有较高的工程应用价值。