随着电力系统各区域电网联合发展的规模越来越大, 若系统局部发生故障, 可能由于保护和防护措施不到位而导致大面积停电事故, 甚至可能危及整个电力系统的稳定运行。因此, 如何实现电力系统的自我恢复, 使整个电网快速恢复到正常运行水平, 是一项十分重要的研究内容^[1-5]。

黑启动预案是实现系统全网停电后尽快恢复的最有效策略, 可以保证电力系统发生大面积停电时, 通过启动电网中具有自启动能力的机组或利用外部电源, 使得没有自启动能力的机组有序地尽快恢复供电。目前, 黑启动方案的评估方法主要分为模糊类方法和确定性方法。其中确定性方法包括基于层次分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)的评估方法和利用数据包络分析法(Data Envelopment Analysis, DEA)的评估方法。前者AHP主要根据专家的主观经验来确定评价指标的权重, 因此客观性较差, 还可能会造成评估结果存在误差; 虽然后者DEA衡量的结果与数据单位的选择无关, 然而该方法容易受到极值的影响, 因此只能评判方案的有效性, 不能用于多个方案的完全优选排序, 实用性相对较差^[6]。文献[7]结合了AHP方法和DEA方法的优点, 但在后续黑启动方案研究中可能出现各个方案相对有效性相同的问题, 导致无法进行有效的评价排序。文献[8]虽然考虑了权重处理问题, 提出了基于关联矩阵的评估方法, 然而该方法仅依靠专家人员给定相关权重, 因此客观性略显不足。文献[9]基于TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)方法进行评估, 但是各个黑启动方案在分析时容易互相耦合, 无法保证各方案的独立性。

考虑到确定性评估方法的缺陷, 本文提出了基于模糊熵权的黑启动方案评估方法。在考虑评价指标权重时, 将客观数据利用熵权法处理后与专家经验的偏好判断相结合, 并在合理范围内模糊化各黑启动方案的评价指标, 在兼顾工程主观性的同时增强评估结果的客观性。最后, 通过基于实际电网信息的仿真实验验证本文方法的有效性。

为了兼顾数据的客观性和专家偏好的主观性, 可以利用熵权法^[7]对客观数据施加某一权重, 使得评估结果的主客观性得到平衡。设有m个待评价的目标黑启动方案和n个评价指标, 则存在m×n维的评价矩阵R′=[r′_ij]_m×n, r′_ij表示为第i个黑启动方案的第j个评价指标。将评价矩阵按一定规则标准化后记为R=[r_ij]_m×n。在评价矩阵的所有评价指标中, 第j个评价指标的熵可以表示为

$ {H_j} = - k\mathop \sum \limits_{i = 1}^m {f_{ij}}\ln {f_{ij}} $

(1)

式中:k=1/ln m;

$ {f_{ij}} = {r_{ij}}/(\mathop \sum \limits_{i = 1}^m {r_{ij}}) $

任一评价指标的熵满足0≤H_j≤1。当f_ij=0时, 则f_ijlnf_ij=0。

相应地, 第j个评价指标的熵权定义为

$ {\omega _j} = \frac{{1 - {H_j}}}{{n - \sum\limits_{j = 1}^n {{H_j}} }} $

(2)

式中: $0 \le {\omega _j} \le 1, \sum\limits_{j = 1}^n {{\omega _j} = 1} $。

熵权的大小可以反映出评价指标的重要程度, 即评价指标在方案中越受重视, 则熵权越大, 在评估结果中可以提供较多的评价信息; 反之, 熵权越小, 表明该评价指标影响力相对较弱, 在评估结果中无法提供较多有用的评判信息。因此, 熵权能够反映客观数据中所包含的信息, 但是仅反映了不同评价指标的差异, 而评价指标是否重要仍取决于专家根据实际情况的判断。因此, 为了在专家主观判断信息里体现各个指标之间的相对重要程度, 需要将熵权与专家主观判断矩阵相结合, 既能保证数据信息的客观性, 也能兼顾不同评价指标在方案中的受重视程度。

对于n个评价指标有n维的主观权重向量为λ=[λ₁, λ₂, λ₃, …, λ_n], 则与熵权结合后的综合权重可以表示为

$ {a_j} = \frac{{{\omega _j} + \mu {\lambda _j}}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {({\omega _j} + \mu {\lambda _j})} }} $

(3)

式中:a_j——第j个评价指标的综合权重;

μ——相对有效性系数, 通常0.3 < μ < 3, 当主观权重与客观权重相同时, μ=1。

这种主客观权重相互结合的加权方式, 可以避免其中一种权重影响力过大, 导致评估结果失去客观性或主观性, 又能平衡不同的权重在综合权重中的相对大小问题。因此, 结合后的综合权重能够更加切合电力系统的实际情况。

模糊综合评价^[10-12]通过数学过程将定性评价转为定量形式, 因此可以应用于黑启动评价中, 同时兼顾电力系统的多种影响因素。首先, 将n个评价指标集U={u₁, u₂, u₃, …, u_n}以某种隶属函数方式与m个待评价的目标黑启动方案集V={v₁, v₂, v₃, …, v_m}关联。该模糊关系可以用m×n维的评价矩阵R表示。n个评价指标的模糊权重向量为A=[a₁, a₂, a₃, …, a_n], 将A与R模糊运算后, 得到位于V上的模糊子集B=[b₁, b₂, b₃, …, b_m], 而B就代表了m个评语对某一评价对象所具有的隶属度, 其中b_i反映了被评价对象具有评语v_i的程度。

本文主要考虑的评价指标有6个, 包括电压变换频率指标、电气距离指标、结果校验优劣指标、启动时间指标、被启动机组容量指标、被启动电源优先级指标。

评价指标可以分为成本型评价指标和效益型评价指标两种。上述6种常用的评价指标中, 成本型指标包括电压变换频率指标、电气距离指标和启动时间指标; 而效益型指标包括结果校验优劣指标、被启动机组容量指标和被启动电源优先级指标。

在m个待评价的黑启动方案中, 令第i个方案的评价指标集为U_i={u_i1, u_i2, u_i3, …, u_i6}, 其中u_ij表示第i个方案的第j个评价指标值。同时, 设置V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅}={优秀, 良好, 中等, 合格, 较差}, 其中各元素反映了对某黑启动方案(或该方案指标)的隶属度。

由上述评语指标集可以获得m个待评估方案的评价矩阵C′为

$ {C'} = \left[ \begin{array}{l} c{'_{11}}\;\;c{'_{12}}\;\;...\;\;c{'_{16}}\\ c{'_{21}}\;\;c{'_{22}}\;\;...\;\;c{'_{26}}\\ \;\; \vdots \;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\; \vdots \\ c{'_{m1}}\;\;c{'_{m2}}\;...\;c{'_{m6}} \end{array} \right] $

(4)

式中, c′_ij=u_ij, i=1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, 6。

对于评价矩阵C′中第i个方案的第j个评价指标, 若为效益型评价指标, 则其标准化公式为

$ {c_{ij}} = \frac{{c{^\prime _{ij}} - {{\mathop {{{\rm min}c}^\prime }\limits_i }_{ij}}}}{{\mathop {{\rm max}c}\limits_i {^\prime _{ij}} - \mathop {{\rm min}c}\limits_i {^\prime _{ij}}}} $

(5)

若为成本型评价指标, 则其标准化公式为

$ {c_{ij}} = \frac{{\mathop {{\rm max}c}\limits_i {^\prime _{ij}} - c{^\prime _{ij}}}}{{\mathop {{\rm max}c}\limits_i {^\prime _{ij}} - \mathop {{\rm min}c}\limits_i {^\prime _{ij}}}} $

(6)

标准化后的评价矩阵C为

$ {C} = \left[ \begin{array}{l} c{_{11}}\;\;c{_{12}}\;\;...\;\;c{_{16}}\\ c{_{21}}\;\;c{_{22}}\;\;...\;\;c{_{26}}\\ \;\; \vdots \;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\; \vdots \\ c{_{m1}}\;\;c{_{m2}}\;...\;c{_{m6}} \end{array} \right] $

(7)

得到标准化的评价矩阵C后, 分别利用式(1)和式(2)计算相应评价指标的熵和熵权, 并根据式(3)将熵权值与专家主观偏好定义的权重相结合, 得到模糊权重向量A=[a₁, a₂, a₃, …, a₆], A满足$\sum\limits_{j = 1}^6 {{a_j} = 1} $。

评价矩阵中的第i个方案经过上述标准化过程后可以表示为C_i={c_i1, c_i2, c_i3, …, c_i6}, 计算第i个方案的第j个评价指标在评价集V上的隶属度函数为

$ {r_{ij}}({v_k}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{c_{ij}} - {p_k}}}{{{q_k} - {p_k}}},\;\; {p_k} \le {c_{ij}} \le {q_k}\\ \frac{{{s_k} - {c_{ij}}}}{{{s_k} - {q_k}}}, \;\;{q_k} \le {c_{ij}} \le {d_k}\\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;{\text{其他}} \end{array} \right.{\rm{ }} $

(8)

式中:r_ij(v_k)——第i个方案的第j个指标相对于评语v_k的隶属度;

p_k, q_k, s_k——对应v_k的常数。

将评价矩阵指标值标准化后, 若分别对5个评语赋值为:q₁=0, q₂=0.25, q₃=0.5, q₄=0.75, q₅=1, 则式(8)中的隶属度函数可以改写为

$ {r_{ij}}({v_1}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{c_{ij}} - 0.2}}{{0.8}},\;\; 0.2 \le {c_{ij}} \le 1\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{其他}} \end{array} \right. $

(9)

$ {r_{ij}}({v_2}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{c_{ij}} + 0.05}}{{0.8}}, 0 \le {c_{ij}} \le 0.75\\ \frac{{1.55 - {c_{ij}}}}{{0.8}}, 0.75 \le {c_{ij}} \le 1 \end{array} \right.{\rm{ }} $

(10)

$ {r_{ij}}({v_3}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{c_{ij}} + 0.3}}{{0.8}}, 0 \le {c_{ij}} \le 0.5\\ \frac{{1.3 - {c_{ij}}}}{{0.8}}, 0.5 \le {c_{ij}} \le 1 \end{array} \right.{\rm{ }} $

(11)

$ {r_{ij}}({v_4}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{c_{ij}} + 0.55}}{{0.8}}, 0 \le {c_{ij}} \le 0.25\\ \frac{{1.05 - {c_{ij}}}}{{0.8}}, 0.25 \le {c_{ij}} \le 1 \end{array} \right.{\rm{ }} $

(12)

$ {r_{ij}}({v_5}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{0.8 - {c_{ij}}}}{{0.8}}, \;\;0 \le {c_{ij}} \le 0.8\\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;{\text{其他}} \end{array} \right. $

(13)

由式(9)~式(13)的5个隶属度函数, 可以求得第i个方案的模糊评价矩阵为

$ {R'} = \left[ \begin{array}{l} {r_{i1}}\left( {{v_1}} \right)\;\;{r_{i1}}\left( {{v_2}} \right)\;\;...\;\;{r_{i1}}\left( {{v_5}} \right)\\ {r_{i2}}\left( {{v_1}} \right)\;\;{r_{i2}}\left( {{v_2}} \right)\;\;...\;\;{r_{i2}}\left( {{v_5}} \right)\\ \;\;\;\;\vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ {r_{i6}}\left( {{v_1}} \right)\;\;{r_{i6}}\left( {{v_2}} \right)\;\;...\;\;{r_{i6}}\left( {{v_5}} \right) \end{array} \right] $

(14)

式中:i=1, 2, 3…, m。

将模糊权重向量A与模糊评价矩阵R进行模糊运算, 得到综合评价集B_i在V上的模糊子集为

$ {B_i} = {A} \circ {R} = [{b_{i1}}, {b_{i2}}, {b_{i3}}, {b_{i4}}, {b_{i5}}] $

(15)

采用M(·, +)模型, 有:

$ {b_{ik}} = \sum\limits_{j = 1}^6 {{a_j}{r_{ij}}({v_k})} $

(16)

对B_i进行归一化处理, 得到第i个方案相对于评语k的隶属度为

$ {\hat b_{ik}} = \frac{{{b_{ik}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^5 {{b_{ik}}} }} $

(17)

则归一化处理后的第i个方案的模糊综合评价结果为

$ {\hat B_{ik}} = [{\hat b_{i1}}, {\hat b_{i2}}, {\hat b_{i3}}, {\hat b_{i4}}, {\hat b_{i5}}] $

(18)

根据模糊综合评价结果, 黑启动方案可以采用3种方法进行排序:一是根据最大隶属度排序, 方案的总评语采用${\hat B_i}$中隶属度最大值对应的评语; 二是按照最优评价排序, 根据${\hat B_i}$中对“优秀”的隶属度进行排序; 三是按照综合得分排序, 对评价结果赋予一个实际的分值以实现量化, 再按照分值的大小依次排序。

综上, 本文提出的基于模糊熵权的黑启动方案评估方法的具体步骤如下:

(1) 将熵权与专家主观权重结合, 得到综合权重;

(2) 将各个评价指标标准化后得到评价矩阵;

(3) 利用隶属度函数公式构造模糊评价矩阵;

(4) 对综合权重和评价矩阵进行模糊运算, 得到模糊子集;

(5) 将模糊子集归一化后得到模糊评价结果, 并按照评价结果对黑启动各方案进行排序。

为了验证本文方法的有效性, 利用天津电网的实际案例进行验证。数据来源于文献[7]中天津电网的部分数据, 如表 1所示。其中, 所有方案的电压变换频率均为零。

利用前文所述的标准化方法对表 1中的指标数据进行处理, 并将评价指标按各自特性进行分类。利用式(5)和式(6)进行标准化, 得到标准化后的评价矩阵C为

$ {C} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{1.000}&{0.800}&0&{1.000}&{0.667}\\ {1.000}&{0.991}&{1.000}&{0.536}&{0.961}&{1.000}\\ {1.000}&{0.991}&{0.800}&{0.536}&{0.961}&{1.000}\\ {1.000}&{0.111}&0&{0.303}&0&0\\ {1.000}&0&{0.667}&{1.000}&{0.145}&{0.333} \end{array}} \right] $

由式(1)和式(2)分别确定评价指标的熵和熵权, 进而可得评价指标熵权向量为

ω=[0 0.246 0.145 0.193 0.231 0.185]

若式(3)中μ=1, 则专家给定的评价指标权重向量为

$ \begin{array}{l} {\lambda} = [0.100\;\;0.160\;\;0.140\\ \;\;\;\;\;\;\;\;0.200\;\;0.220\;\;0.180] \end{array} $

利用式(3)将熵权向量ω与专家评价指标权重向量λ结合, 得到综合权重向量为

$ \begin{array}{l} A = [0.050\;\;0.203\;\;0.142\\ \;\;\;\;\;\;\;\;0.196\;\;0.226\;\;0.183] \end{array} $

以方案1为例, 根据5个对应隶属度函数, 即式(9)~式(13), 可得方案1的模糊评价矩阵为

$ {{R}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ {0.750}&{0.938}&{0.625}&{0.313}&0\\ 0&{0.063}&{0.375}&{0.688}&{1.000}\\ {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ {0.583}&{0.896}&{0.792}&{0.479}&{0.167} \end{array}} \right] $

同理, 可得方案2~方案5的模糊评价矩阵分别为

$ {{R}_2} =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{0.688}&{0.35}&{0.063}&0\\ {0.989}&{0.699}&{0.386}&{0.074}&0\\ {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ {0.420}&{0.733}&{0.955}&{0.643}&{0.328}\\ {0.951}&{0.736}&{0.424}&{0.111}&0\\ {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0 \end{array}} \right] $

$ {{R}_3} =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ {0.989}&{0.699}&{0.386}&{0.074}&0\\ {0.750}&{0.938}&{0.625}&{0.313}&0\\ {0.420}&{0.733}&{0.955}&{0.643}&{0.328}\\ {0.951}&{0.736}&{0.424}&{0.111}&0\\ {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0 \end{array}} \right] $

$ {{R}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ 0&{0.201}&{0.514}&{0.201}&{0.861}\\ 0&{0.063}&{0.375}&{0.688}&{1.000}\\ {0.129}&{0.441}&{0.754}&{0.934}&{0.621}\\ 0&{0.063}&{0.375}&{0.688}&{1.000}\\ 0&{0.063}&{0.375}&{0.063}&{1.000} \end{array}} \right] $

$ {{R}_5} =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ 0&{0.063}&{0.375}&{0.688}&{1.000}\\ {0.584}&{0.896}&{0.791}&{0.479}&{0.166}\\ {1.000}&{0.688}&{0.375}&{0.063}&0\\ 0&{0.244}&{0.556}&{0.869}&{0.819}\\ {0.166}&{0.479}&{0.791}&{0.896}&{0.584} \end{array}} \right] $

利用式(15)可得综合评价模糊子集B_i, 利用式(17)归一化处理后得到第i个方案的模糊综合评价结果${\hat B_i}$为

B₁=[0.295 0.273 0.208 0.127 0.097]

B₂=[0.373 0.303 0.214 0.081 0.029]

B₃=[0.347 0.309 0.223 0.094 0.027]

B₄=[0.032 0.084 0.205 0.315 0.364]

B₅=[0.146 0.184 0.224 0.236 0.210]

最后, 对模糊综合评价结果进行排序, 不同方法的排序结果也不相同。

(1) 根据隶属度的最大值进行排序。方案的总评语采用${{\mathit{\boldsymbol{\hat B}}}_i}$中隶属度最大值对应的评语, 排序结果为:方案1、方案2和方案3为优秀; 方案4为较差; 方案5为合格。

(2) 根据最优评价排序。根据${{\mathit{\boldsymbol{\hat B}}}_i}$中对“优秀”评价的隶属度, 若两个排序方案的最优评价隶属度接近, 则按照次优评价的隶属度排序。排序结果为:第1为方案2;第2为方案3;第3为方案1;第4为方案5;第5为方案4。

(3) 按综合得分排序。给每个评语对应一个分数, “优秀”对应90, “良好”对应80, “中等”对应70, “合格”对应60, “较差”对应50。排序结果为:第1为方案2, 79.13分; 第2为方案3, 78.57分; 第3为方案1, 75.43分; 第4为方案5, 68.19分; 第5为方案4, 61.07分。

由上述结果可以看出, 3种排序方法的结果差异性不大, 但根据最大隶属度排序的结果中, 除了方案4和方案5以外均为优秀评价, 因此无法得到最适合的黑启动方案。根据最优评价排序和综合评分排序的结果相对精确, 与文献[7]的排序结果一致。这证明了本文方法能够应用于黑启动方案评价。针对大规模电力系统的黑启动方案进行评估时, 文献[7]中基于DEA/AHP模型的方法会出现“维数灾”问题, 而本文方法无需对电力系统做线性化并求特征值, 因此更加适用于黑启动方案的评估。

本文提出了基于模糊熵权的黑启动方案评估方法, 将熵权方法与传统模糊评价方法结合后, 采用模糊综合评价方法作为评估方案的主体步骤。为了平衡主客观性, 引入评价指标熵权概念, 由客观数据确定各个评价指标的熵权(即权重系数)后, 再与专家经验给出的权重结合, 最终得到了合理性、实际性强的综合权重, 在满足专家主观需求的同时提高了判断矩阵的客观性。实际的案例仿真结果证明了本文方法的有效性。